Tetredru echifacial

Sa se arate ca intr-un tetraedru care are toate fetele de aceeasi suprafata, toate perechile de muchii opuse sunt congruente.

Fie $ CC_1  $si $  DD_1 $ inaltimi in $ \bigtriangleup ABC  $si $ \bigtriangleup ABD  $. Cum ariile sunt egale $ CC_1 $ si $ DD_1 $ sunt congruente. Fie$  M1 $ mijlocul lui $ C_1D_1 $. triunghiurile dreptunghice $ \bigtriangleup CC_1M_1  $ si $ \bigtriangleup DD_1M_1 $ sunt congruente, si $ M_1C $ congruent cu $  M_1D.  $Fie $ N_1 $ mijlocul lui CD. Atunci $  M_1N_1 $ este perpendiculara pe CD. Acum, $ M_1N_1  $este situat in planul prin $ M_1 $ paralel cu directiile $ CC_1 $ si $ DD_1 $ asa ca si $  M_1N_1 $ este perpendicular pe AB. Atunci $  M_1N_1 $ este perpendiculara comuna a dreptelor AB si CD. Similar, fie $ M_2 $ mijlocul lui AB si $ N_2  $ mijlocul segmentului $ A_1 B_1 $ al proiectiilor lui A si B pe CD. Atunci $ M_2N_2 $ va fi perpendiculara comuna a dreptelor AB si CD. cum aceasta este unica $  M_1=M_2 $ si
$ N_1=N_2. $ atunci $  BC_1  $congruent cu $ AD_1 $ .Atunci si AD congruent cu BC. Deci muchiile opuse sunt congruente
doua cate doua.

Back to top