Problema Vasile Cirtoaje (clasica!!!)

Fie $ 0<a\leq b\leq c $ si $ a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}b{}+\frac{1}{c} $
atunci (1)

$$      b\geq \frac{1}{a+c-1}$$

(2)

$$ab^2c^3\geq 1$$

Solutie (partiala!!! la problema inchisa dar semideschisa...)Avem evident $ 0<a\leq 1\leq c $ .Fie $ f :(0. \infty) \to (-\infty ,\infty ) $ $ f(x)=x-\frac{1}{x} $ Functia este strict crescatoare avand derivata $ f'(x)=1+\frac{1}{x^2} $ este si inversabila si pentru $ 0<x\leq y $ avem echivalenta cu $ f(x)\leq f(y) $ Din ipoteza $ f(a)+f(b)+f(c)=0 $ Dar $ f(\frac{1}{x})=-f(x) $ Atunci $ f(a)+f(c)=-f(b) $ Avem $ a+c-1>0 $ si

$$      b\geq \frac{1}{a+c-1}$$

daca si numai daca

$$     f( b) \geq f(\frac{1}{a+c-1})=-f(a+c-1)$$

sau v

$$   -  f( b) \leq -f(\frac{1}{a+c-1})=f(a+c-1)$$

deci este suficient ca

$$f(a)+f(c)\leq f(a+c-1)$$

sau

$$\frac{a^2-1}{a}+\frac{c^2-1}{c}\leq \frac{(a+c-1)^2-1}{a+c-1}$$

sau

$$\frac{(ac-1)(a+c)}{ac}\leq \frac{(a+c-2)(a+c)}{a+c-1}$$

sau

$$(ac-1)(a+c-1)\leq ac(a+c-2)$$

sau

$$ac-a -c+1=(a-1)(c-1)\leq 0$$

ceea ce este evident

Back to top